نسخه اصلی این گزارش در مجله کوانتا منتشر شده است.
رونالد گراهام فقید دو نقش داشت. او یک ریاضیدان برجسته و در یک دوره رئیس انجمن ریاضیات آمریکا بود. همچنین او یک شعبده‌باز جدی و رئیس انجمن بین‌المللی شعبده‌بازان بود. «او عاشق ترفندها بود»، گفت فان چونگ، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا سن دیگو که همسر گراهام بود. «می‌دانید، چرخاندن توپ، چرخاندن چوب لباسی، چرخاندن چند توپ با هم، پرتاب خودکار به سمت دیوار.»
گاهی اوقات گراهام هر دو نقش را همزمان ایفا می‌کرد. «جالب است که در واقع بسیاری از ریاضیدانان و دانشمندان علوم کامپیوتر به شعبده علاقه دارند»، او در یک مصاحبه تلویزیونی در سال ۱۹۸۰ گفت. «فکر می‌کنم جستجو برای الگوها و ساختارها مسئول این موضوع است.»
او بعدها مقالات متعددی، برخی با چونگ، درباره ریاضیات شعبده نوشت. اما در سال ۱۹۷۱، دهه‌ها قبل از اینکه او این ارتباط را صریحاً بیان کند، سؤالی مطرح کرد که برخی ریاضیدانان اکنون می‌گویند ممکن است الهام گرفته از شعبده نیز بوده باشد.
با یک مجموعه تصادفی از اعداد صحیح متمایز شروع کنید، بدون شامل صفر. آیا همیشه می‌توانید آن‌ها را بازآرایی کنید تا اگر دو عدد اول را جمع بزنید، سپس سه عدد اول، سپس چهار عدد اول، و به همین ترتیب، هر «جمع جزئی» متمایز باشد؟ به زبان شعبده، این بدان معناست که اگر هر توپ مدت زمان متفاوتی در هوا بماند، همیشه می‌توانید ترتیبی برای پرتاب آن‌ها پیدا کنید که دو توپ در یک ضرب آهنگ با هم برخورد نکنند—که اجرای نمایش را خراب می‌کند.
اگر همه اعداد مثبت باشند، پاسخ به سؤال گراهام واضحاً بله است: جمع‌ها همیشه با افزودن اعداد بیشتر بزرگ‌تر می‌شوند. به طور مشابه، اگر اعداد مثبت و منفی در ترکیب وجود داشته باشند، پاسخ نیز معلوم است که بله است. اما چه می‌شود اگر اعداد در یک دنیای متناهی زندگی کنند—مثل اعدادی که روی صفحه ساعت پیچیده شده‌اند و پس از شمارش خاصی تکرار می‌شوند؟
این چیزی بود که گراهام می‌خواست بداند. او حدس زد که پاسخ باید همچنان بله باشد. اغلب اتفاق می‌افتد، او فکر می‌کرد، حتی هنگام کار با محدودیت‌های سخت، هنوز می‌توان انعطاف‌پذیری کافی برای ساخت الگوها یا ساختارهای خاص پیدا کرد—همانطور که معمولاً امکان یافتن یک جدول سودوکو معتبر یا مربع لاتین (نوع دیگری از پازل) با وجود قوانین متعددشان وجود دارد. «این به خوبی در تمام این سؤالات درباره طرح‌ها و ساختارهای بسیار متقارن جا می‌گیرد»، گفت نوگا آلون، ریاضیدان دانشگاه پرینستون. اما برای دهه‌ها، هیچ‌کس نتوانست شهود گراهام را درست ثابت کند.
اخیراً تغییر کرد، زمانی که چندین ریاضیدان جوان توپ‌ها را برداشتند. در اثباتی که در چهار مقاله و حوزه‌های مختلف ریاضیات گسترده بود، آن‌ها سرانجام حدس بازآرایی گراهام را حل کردند. مقاله نهایی، توسط لیزا ساورمن از دانشگاه بن و هوئی توان فام از دانشگاه شیکاگو، در فوریه ۲۰۲۶ ظاهر شد و رسماً مسئله را بست.
در میان مقالات، یک تم غالب بود: قدرت تصادفی بودن برای استخراج الگوها. همانطور که آلون گفت، «قدرت همکاری، قدرت نسل جوان، قدرت روش‌های احتمالاتی» مسئله را حل کرد.
آلپ مویرسر، ریاضیدان دانشگاه آکسفورد، اغلب جذب مسائلی می‌شود که راه‌حل‌هایشان نیازمند دو ماده است: یک فرآیند تصادفی و چیزی اضافه تر. پس از حل یکی از چنین مسائلی در سال ۲۰۲۲ زمانی که هنوز دانشجوی دکتری بود، او با حدس گراهام روبرو شد و دریافت که اثبات تازه تمام شده‌اش می‌تواند آنجا نیز کمک کند.
حدس در دنیای حساب ساعتی تنظیم شده است. شما با قرار دادن اعداد صحیح کامل روی یک خط اعداد شروع می‌کنید، سپس خط را دور صفحه ساعت می‌پیچید تا اعداد پس از یک عدد اول معین، p، تکرار شوند. فرض کنید p برابر ۷ است. در این محیط، ۰، ۷، ۱۴ و تمام مضارب دیگر ۷ معادل هستند—یعنی می‌توانید دو عدد مثبت (مثل ۳ و ۴) را جمع کنید و صفر به دست آورید.
گراهام پرسید: اگر هر مجموعه‌ای از اعداد غیرصفر را از این خط اعداد انتخاب کنید (برای هر p)، آیا همیشه می‌توانید آن‌ها را بازآرایی کنید تا جمع‌های جزئی به دست آمده همه متمایز باشند؟
چالش بستگی به این دارد که مجموعه شما نسبت به p چقدر بزرگ است. هرچه اعداد بیشتری انتخاب کنید، جمع‌های بیشتری برای مدیریت وجود دارد. اما اگر اعداد کمتری انتخاب کنید، روش‌های کمتری برای بازآرایی آن‌ها وجود خواهد داشت. این موارد مختلف الهام‌بخش رویکردهای مختلف هستند.
مویرسر، همراه با استاد راهنمای سابقش، آلکسی پوکروفسکی از کالج لندن، موردی را که مجموعه شما تقریباً هر عدد ممکن تا p را شامل می‌شود، مورد بررسی قرار دادند. با مجموعه‌های به این بزرگی، ساخت یک ترتیب‌دهی معتبر می‌تواند بسیار دشوار باشد. اما مشخص شد که شروع با یک ترتیب‌دهی تصادفی می‌تواند شما را تا بخش عمده‌ای از مسیر پیش ببرد.
«دانشمندان علوم کامپیوتر اغلب این را مسئله «پیدا کردن سوزن در انبار کاه» می‌نامند»، مویرسر گفت. ممکن است بدانید که بسیاری از ترتیب‌دهی‌های خوب در بیرون هستند، اما در واقع یافتن یکی از آن‌ها دشوار است. «اگر آن را به صورت تصادفی انجام دهید، احتمالاً کار می‌کند، اما توصیف صریح اینکه راه‌حل چگونه باید به نظر برسد، دشوار است.»
مویرسر و پوکروفسکی باید مطمئن می‌شدند که هیچ دنباله‌ای از اعداد در هیچ جایی از ترتیب‌دهی جمعش صفر نشود. در غیر این صورت، افزودن آن اعداد به جمع جزئی قبلی باعث تکرار آن جمع می‌شد.
یک ترتیب‌دهی کاملاً تصادفی ممکن است چند مورد از این دنباله‌های مشکل‌ساز داشته باشد. بنابراین مویرسر و پوکروفسکی ابتدا چند عدد انتخاب شده ویژه را از مجموعه کنار گذاشتند، سپس بقیه را به صورت تصادفی درهم آمیختند. آن‌ها ترتیب‌دهی تصادفی خود را برای هرگونه مشکل اسکن کردند؛ اگر با بازه‌ای مواجه شدند که جمعش صفر می‌شد، می‌توانستند یکی از اعداد ذخیره را وارد کنند تا آن را تغییر دهند. در سال ۲۰۲۲، آن‌ها راه‌حل خود را منتشر کردند، هرچند در مقاله‌ای پنهان بود که بر کاربرد همان تکنیک برای یک مسئله عمومی‌تر تمرکز داشت.
چند سال بعد، نوح کراویتز از آکسفورد، بدون اطلاع از راه‌حل مویرسر و پوکروفسکی، به طور تصادفی با حدس گراهام در آرشیو آنلاین مسائل حل نشده روبرو شد. «دیدم یک مسئله باز وجود دارد و گفتم، برای بشریت شرم‌آور است که ما این را نمی‌دانیم»، کراویتز گفت. «این وضعیت فقط باید اصلاح می‌شد.»
او تصمیم گرفت از سمت مخالف به حدس نزدیک شود. همراه با بنجامین بدِر از آکسفورد، او موردی را که مجموعه اعداد نسبت به p بسیار کوچک است—مثلاً، آلون گفت، اگر مجموعه‌ای از ۱۰۰ عدد دارید که p برابر ۱ میلیارد است—بررسی کرد.
کراویتز و بدِر حدس گراهام را برای آن موارد حل کردند و اثبات خود را در سپتامبر ۲۰۲۴ منتشر کردند. مویرسر آن را دید و تماس گرفت، کار خود را به اشتراک گذاشت؛ سپس آن سه نفر (به همراه دو همکار دیگر) تیم شدند تا رویکرد اصلی مویرسر را گسترش دهند.
«ترکیب افراد بسیار بعیدی بود»، کراویتز گفت. او و مویرسر از دو حوزه ترکیبیات می‌آیند که معمولاً با هم همکاری نمی‌کنند. «بخش‌های مختلف تکنیک‌های کاملاً متفاوتی دارند»، او گفت.
مقاله آن‌ها که در آگوست ۲۰۲۵ منتشر شد، موارد بیشتری را که مجموعه اعداد نسبت به p نسبتاً بزرگ است، پوشش داد. اما بین آن موارد و موارد مجموعه کوچک که کراویتز و بدِر پوشش داده بودند، شکافی باقی ماند. هیچ‌کس نمی‌توانست بفهمد چه کاری باید با مجموعه‌های با اندازه متوسط، مانند آن‌هایی که تقریباً نصف تعداد اعداد p را شامل می‌شوند، انجام دهد. «روش‌های ما آنجا کار نکرد، و دلایل واضحی وجود داشت که چرا کار نمی‌کردند»، مویرسر گفت.
به نظر می‌رسید که تحقیقات روی مسئله ممکن است وارد وقفه طولانی دیگری شود. سپس، در فوریه ۲۰۲۶، غافلگیری آنلاین ظاهر شد.
لیزا ساورمن و هوئی توان فام دوستان قدیمی بودند. این دو ریاضیدان در سال ۲۰۱۵ در دانشگاه استنفورد آشنا شدند، جایی که ساورمن دانشجوی دکتری و فام دانشجوی کارشناسی بود. امروز آن‌ها در قاره‌های مختلف زندگی می‌کنند—ساورمن در بن آلمان و فام در شیکاگو. اما کنفرانسی در آلمان در سپتامبر ۲۰۲۵ فرصت کمیاب برای آن‌ها فراهم کرد تا دوباره تخته سیاه را به اشتراک بگذارند، و پس از آن فام برای بازدید کوتاه به بن نزد ساورمن رفت. تنها چیزی که لازم داشتند یک مسئله برای کار روی آن بود.
در کنفرانس، آن‌ها دو سخنرانی درباره حدس گراهام شنیدند که توسط ریاضیدانانی ارائه شده بود که تلاش کرده بودند اما در پر کردن شکاف ناموفق بودند. آن‌ها کنجکاو شدند. و همانطور که بعداً مشخص شد، ساورمن در دوران دبیرستان با مسئله‌ای مرتبط نزدیک در المپیاد بین‌المللی ریاضیات روبرو شده بود. او آن را درست حل کرد و تا پایان دبیرستان، چهار مدال طلا در این رقابت معتبر کسب کرده بود. (احتمالاً چونگ بود که آن مسئله را در امتحان آن سال قرار داد، زیرا او در کمیته‌ای که سؤالات را تهیه می‌کرد عضو بود و اغلب از معماهای متعدد گراهام الهام می‌گرفت.)
تا پایان بازدید سه‌روزه‌شان، ساورمن و فام برنامه‌ای برای شکستن پرونده داشتند.
آن به روشی فنی و پیچیده به نام ضد تمرکز وابسته بود. اینجا، یک بیانیه ضد تمرکز ادعا می‌کند که یک رویداد خاص شانس بسیار پایینی برای رخ دادن دارد. اما مکانیزم‌های اثبات این نوع بیانیه‌ها آنقدر پیچیده است که، اگرچه کراویتز و دیگران آگاه بودند که چنین رویکرد ضد تمرکزی ممکن است موفق شود، «ما فقط جرأت امتحان کردن واقعی آن را نداشتیم»، او گفت.
اما ابتدا، ساورمن و فام همانطور که پیشینیان‌شان عمل کرده بودند شروع کردند. آن‌ها مجموعه اعداد خود را به صورت تصادفی بازآرایی کردند و رویه‌ای برای رفع هرگونه مشکل—یعنی هر دنباله‌ای که جمعش صفر می‌شود—به دست آوردند. هر وقت دنباله‌ای با جمع صفر پیدا می‌کردند، آخرین عدد در دنباله را با یکی دیگر جایگزین می‌کردند.
این رویه اغلب بدون مشکل پیش می‌رفت. اما سه نوع «رویداد بد» باعث شکست آن می‌شدند. یک: دنباله‌ای با جمع صفر ممکن است در انتهای کل آرایش رخ دهد؛ سپس اعداد دیگری برای جایگزینی وجود نخواهد داشت. دو: بسیاری از دنباله‌های با جمع صفر ممکن است خیلی نزدیک به هم ظاهر شوند، که اصلاح همه آن‌ها را غیرممکن می‌کند. و سه: اصلاح یک دنباله بد ممکن است دنباله‌ای با جمع صفر دیگر در ادامه ایجاد کند.
ساورمن و فام امیدوار بودند با استفاده از ضد تمرکز اثبات کنند که هر یک از این رویدادهای بد به اندازه کافی غیرمحتمل هستند. سپس باید راهی برای بازآرایی مجموعه اعداد وجود می‌داشت تا حدس برآورده شود.
برای انجام این کار، این دو نفر از تحلیل فوریه استفاده کردند—حوزه‌ای از ریاضیات که به شما اجازه می‌دهد توابع را به صورت مجموع امواج ساده بازنویسی کنید—تا نشان دهند که به طور کلی، وقتی مجموعه‌های تصادفی اعداد را جمع می‌کنید، هیچ جمع خاصی شانس ویژه‌ای برای ظاهر شدن ندارد. سپس آن‌ها از این بینش برای تخمین دقیق احتمال وقوع هر رویداد بد استفاده کردند و در نهایت نشان دادند که احتمال کل دریافت یک رویداد بد کمتر از ۱۰۰ درصد است. این برای حل حدس کافی بود.
چند ماه پس از اقامتشان در آلمان، ساورمن و فام اثبات ۲۷ صفحه‌ای خود را آنلاین منتشر کردند. آن‌ها نه تنها نشان دادند که بازآرایی رضایت‌بخش همیشه ممکن است، بلکه نشان دادند که یک ترتیب‌دهی تصادفی می‌تواند حداقل ۹۰٪ مواقع بازآرایی شود تا رویدادهای بد حذف شوند—نرخ موفقیت عظیم.
ریاضیدانانی که قبلاً روی مسئله کار کرده بودند تعجب کردند که مورد باقی‌مانده به این سرعت بسته شد. «رویکرد آن‌ها کاملاً متفاوت است»، مویرسر گفت.
با هم، چهار مقاله حدس گراهام را برای مجموعه‌های با تمام اندازه‌ها اثبات می‌کنند. اما همه آن‌ها فرض می‌کنند که p بسیار بزرگ است؛ اگرچه کسی مقدار دقیق آن را محاسبه نکرده است، چیزی در حدود ۱۰ به توان ۱۰۰ را تصور کنید. برای ریاضیدانان، این اشکالی ندارد—نکته مهم این است که شما در محیط حساب ساعتی کار می‌کنید. اما جنبه دیگری از مسئله به طور فنی حل نشده باقی مانده است—شما هنوز ممکن است سعی کنید حدس را برای تمام p حل کنید. و اگر بخواهید از نتیجه برای طراحی یک نمایش واقعی شعبده استفاده کنید، ناامید می‌شوید: برای تطابق با چنین p بزرگی، نمایش باید بسیار طولانی باشد.
اثبات تأیید می‌کند که حتی در این محیط‌های عددی عجیب و محدود، «برخی ساختارهای خوب همیشه وجود دارند»، آلون گفت. شما همیشه می‌توانید درجه‌ای از انعطاف‌پذیری را به دست آورید، اعداد در مجموعه خود را جابه‌جا کنید تا از بازگشت به همان جمع‌های جزئی اجتناب کنید.
«طرح یک مسئله خوب واقعاً یک هنر است»، چونگ گفت. «فکر می‌کنم رون از دیدن حل شدن مسئله بسیار خوشحال می‌شد.»
داستان اصلی با اجازه از مجله کوانتا، انتشاراتی مستقل از نظر تحریری وابسته به بنیاد سایمونز که مأموریت آن افزایش درک عمومی از علم با پوشش تحولات و روندهای پژوهشی در ریاضیات و علوم فیزیکی و زیستی است، بازانتشار شده است.